வரலாறு முழுவதும், மனிதர்கள் எண்ணுவதும், வணிகச் செயல்பாடுகளை வெளிப்படுத்துவதும், கணிதத்தின் வளர்ச்சியில் எழுந்துள்ள பிற சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதும் எப்போதும் தேவை. பல்வேறு தொகுப்புகளின் பரிணாமத்தை, அவை ஒவ்வொன்றும் அடுத்தவற்றில் அடங்கியிருக்கும் வகையில் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.
எண்ணும் நுட்பங்கள் என்பதன் மூலம் எண்ணுவதற்கு, அதாவது ஒரு தொகுப்பின் கார்டினலைக் கண்டறிவதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் எந்த அல்காரிதத்தையும் குறிக்கிறோம். எண்ணும் நுட்பங்களுக்குள், காம்பினேட்டரிக்ஸ் ஒரு சிறப்பு சிகிச்சைக்கு தகுதியானது: மாறுபாடுகள், வரிசைமாற்றங்கள் மற்றும் சேர்க்கைகள்;
இந்தப் பதிவில் வழித்தோன்றல்களின் மிக முக்கியமான பயன்பாடுகளில் ஒன்றைப் படிக்கப் போகிறோம்: தொடுகோடு மற்றும் சாதாரணக் கோட்டின் சமன்பாடு; அத்துடன் நாம் காணக்கூடிய பல்வேறு பயன்பாடுகள். வழித்தோன்றலின் விளக்கத்தைப் பார்ப்பதன் மூலம் தொடங்குவோம், பின்னர் நாம் காணக்கூடிய மூன்று வகையான பயிற்சிகள்:
அறிமுகம் Jules Henri Poincaré என்பவர் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஆவார், அவர் தனது கணிதப் பணிக்காக மட்டுமல்லாமல் இயற்பியலாளர், கோட்பாட்டு விஞ்ஞானி மற்றும் தத்துவஞானியாக அவரது பணிக்காகவும் தனித்து நின்றார். இயற்பியலில் அவரது மிக முக்கியமான படைப்புகளில், ஒளி மற்றும் மின்காந்த அலைகளின் கோட்பாடு தொடர்பானவை தனித்து நிற்கின்றன.
இன்று நாம் செயல்பாடுகளின் மற்றொரு பண்பைப் படிக்கப் போகிறோம் (மற்றும்/அல்லது தொடரைப் பின்னர் பார்ப்போம்). ஒரு சார்பு மேலே வரம்புக்குட்பட்டது என்றும், அது கீழே வரம்புக்குட்பட்டது என்றும் கூறும்போது, ஒரு சார்பு எப்போது எல்லைக்குட்பட்டது என்பதை இறுதியாக நிறுவ முடியும் என்று முதலில் படிப்போம்.
இயற்கை எண்கள் முடிவில்லாதவை என்பதால், இயற்கை எண்களை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கும் சொற்கள், குறியீடுகள் மற்றும் விதிகளின் தொகுப்பைத் தேடுவது அவசியம். அவர்களுடன் வேலை செய்யும் போது. இந்த இடுகையில் நாம் எண் முறைமைகள், அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் நாம் பயன்படுத்தும் பொதுவான சிலவற்றை வரையறுக்கப் போகிறோம்:
இன்று நாம் அதன் சிக்கலான தன்மையை மாற்றியமைப்பதன் மூலம் அனைத்து நிலைகளிலும் செய்யக்கூடிய ஒரு பொழுதுபோக்குப் பயிற்சியுடன் பணியாற்றப் போகிறோம்: மேஜிக் சதுரங்கள். மேஜிக் சதுரங்கள் என்பது அட்டவணைகள் அல்லது சிறப்பாகக் கூறப்பட்டால், வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கைகளின் கூட்டுத்தொகை, அத்துடன் முழு எண்களைக் கொண்ட கட்டங்கள் முக்கிய மூலைவிட்டமானது எப்போதும் ஒரே அளவு, மாய மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது.
இயற்கணித மொழி என்பது குறிப்பிட்ட வெளிப்பாடுகளாக நாம் பொதுவாக எடுத்துக்கொள்வதை குறியீடுகளாகவும் எண்களாகவும் மொழிபெயர்க்கும் ஒரு வழியாகும். இந்த வழியில், அறியப்படாத அளவுகளை எளிதில் எழுதக்கூடிய குறியீடுகள் மூலம் கையாளலாம், இது தேற்றங்களை எளிமையாக்க அனுமதிக்கிறது, சமன்பாடுகள் மற்றும் சமன்பாடுகளை உருவாக்குகிறது மற்றும் எப்படி படிப்பது அவற்றை தீர்க்க.
நேற்று நாங்கள் வடிவியல் உடல்களை ஆய்வு செய்தோம். இன்று நாம் அந்த ஆய்வைத் தொடரப் போகிறோம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் சில சிறப்பு வடிவியல் உடல்கள், சுற்று உடல்கள். வட்டமான உடல்கள் வடிவியல் உருவங்கள் ஆகும், அவற்றின் வளைந்த முகங்களில் ஒன்றையாவது கொண்டிருக்கும்.
கேள்விக்குரிய வகையைப் பொறுத்து ஒரு சீரற்ற மாறியை எவ்வாறு ஆய்வு செய்வது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும், அதிர்வெண் அட்டவணையை எவ்வாறு உருவாக்குவது மற்றும் நிலை மற்றும் சிதறலின் அளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதைப் பார்த்தோம். அதிர்வெண் அட்டவணையில் சேகரிக்கப்பட்ட தரவைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதற்கான வெவ்வேறு வழிகளில் இன்று நாம் கவனம் செலுத்தப் போகிறோம், இது நாம் பணிபுரியும் மாறியின் வகையைப் பொறுத்தது.
ஒரு பின்னம் அல்லது உடைந்தது என்பது எதையாவது பகுதிகளாகப் பிரிப்பது. 2/4 என்ற பின்னத்தை உதாரணமாக எடுத்துக் கொண்டால், அது நான்கில் இரண்டாகப் படிக்கப்படுகிறது, மேலும் அது நான்கு மொத்தப் பகுதிகளிலும் இரண்டு பகுதிகளைக் குறிக்கிறது. இந்த பின்னத்திற்கு அதன் பெயரைக் கொடுப்பது கீழே உள்ள எண் என்பதை நாம் பார்க்கலாம், ஏனெனில் நாம் பின்னத்தை இரண்டு "
கணிதத் துறையில், பின்னம் அல்லது பின்னம் என்பது எதையாவது பகுதிகளாகப் பிரிப்பதாகும். ¾ என்ற பின்னத்தை எடுத்துக்காட்டாக எடுத்துக் கொண்டால், அது முக்கால்வாசியாகப் படிக்கப்படுகிறது, மேலும் அது நான்கு மொத்தத்தில் மூன்று பகுதிகளைக் குறிக்கிறது. இந்த பின்னத்திற்கு அதன் பெயரைக் கொடுப்பது கீழே உள்ள எண்ணாகும், அதை நாம் பிரிவை "
நீண்ட, மிக நீண்ட கோடைக்குப் பிறகு, வழக்கமான நிலைக்குத் திரும்புவது அவசியம். நாம் கணிதத்தைத் திரும்பிப் பார்க்கிறோம், இன்று நாம் வடிவியல் உடல்களின் குணாதிசயங்களைப் படிக்க வேண்டும், அதாவது முகங்களின் எண்ணிக்கை, செங்குத்துகள், சமச்சீர் அச்சுகள் போன்றவை.
ஒருங்கிணைப்பு பகுப்பாய்வு மூலம், ஒவ்வொரு குழுவிலும் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையால், கொடுக்கப்பட்ட தனிமங்களைக் கொண்டு உருவாகும் குழுக்களின் ஆய்வைக் கையாளும் இயற்கணிதத்தின் பகுதியை நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம். உறுப்புகளின் வகை மற்றும் அவற்றின் இடத்தின் வரிசைப்படி.
நாம் ஏற்கனவே அறிந்தபடி, காம்பினேட்டரிக்ஸ் என்பது இயற்கணிதத்தின் ஒரு பகுதியாகும், இது சில தனிமங்களைக் கொண்டு உருவாக்கக்கூடிய குழுக்களின் ஆய்வைக் கையாள்கிறது, அவற்றுக்கிடையே தனிமங்களின் எண்ணிக்கை, அவற்றின் வகை மற்றும் அவற்றின் வரிசை ஆகியவற்றை வேறுபடுத்துகிறது.
கதிர்வீச்சு என்பது ஆற்றலின் தலைகீழ் செயல்பாடு என வரையறுக்கப்படுகிறது. சக்தி என்பது ஒரு கணித வெளிப்பாடாகும், இதில் இரண்டு பெயரிடப்பட்ட சொற்கள் உள்ளன: அடிப்படை a மற்றும் அடுக்கு n. இது பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: படிக்கிறது, "a உயர்த்தப்பட்டது n"
Combinatorics என்பது கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும், இது குறிப்பிட்ட அளவுகோல்களை பூர்த்தி செய்யும் பொருள்களின் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் ஆய்வு மற்றும் குறிப்பாக அத்தகைய தொகுப்புகளில் உள்ள பொருட்களை எண்ணுவதில் அக்கறை கொண்டுள்ளது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இது இயற்கணிதத்தின் ஒரு பகுதியாகும், இது உருவாகும் குழுக்களைப் படிப்பது, அவற்றுக்கிடையே ஒவ்வொரு குழுவையும் உருவாக்கும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, இந்த உறுப்புகளின் வகை மற்றும் அவற்றின் வரிசை ஆகியவற்றை வேறுபடுத்துகிறது.
நாம் ஆய்வு செய்யப்போகும் மாதிரித் தரவுகள் சேகரிக்கப்பட்டவுடன், அவற்றை அட்டவணை வடிவில் வரிசைப்படுத்தி அவற்றைக் குழுவாக்குவது அவசியம், இந்த அட்டவணை அதிர்வெண் விநியோகம் அல்லதுஅதிர்வெண் அட்டவணை. இந்தப் பிரிவில் ஒரு பரிமாண சீரற்ற மாறிகளுக்கான அதிர்வெண் அட்டவணைகளில் கவனம் செலுத்துவோம் (இரு பரிமாண சீரற்ற மாறிகளைப் பற்றி பின்னர் படிப்போம்).
நாங்கள் ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடுகள் என்று பல எண்கணித செயல்பாடுகள் தீர்வு காணும். சரியான முடிவைப் பெற, சில விதிகளைப் பின்பற்றி, செயல்பாடுகளுக்கு இடையிலான முன்னுரிமையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம். முதலாவதாக, இவை ஒவ்வொன்றையும் பின்னர் தீர்க்கும் வகையில் தற்போதைய விதிமுறைகள் பிரிக்கப்பட வேண்டும்.
DEFINITION f என்பது ஒரு டொமைனில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாடாக இருக்கட்டும், f இன் செயல்பாட்டு வழித்தோன்றல் A தொகுப்பின் a புள்ளியில் வரையறுக்கப்பட்டு f´(a) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது., அடுத்த வரம்பு மதிப்பு: நாம் h=x-a என அழைத்தால், வரையறையை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
The முக்கோணவியல் அடையாளங்கள் என்பது முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய சமத்துவங்கள். இந்த விகிதங்கள் வரையறுக்கப்பட்ட கோணங்களுக்கு என்ன மதிப்புகள் ஒதுக்கப்பட்டாலும், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்த வேண்டியிருக்கும் போது இந்த அடையாளங்கள் எப்போதும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
ஒரு குறிப்பிட்ட மக்கள்தொகையில் நாம் படிக்க விரும்பும் ஒரு குணாதிசயத்தைப் பற்றிய புள்ளிவிவர ஆய்வை மேற்கொள்வதற்கு, குறிப்பிட்ட மக்கள்தொகையின் மாதிரியை பகுப்பாய்வு செய்வது அவசியம், அதில் இருந்து சேகரிக்கப்பட்டதை பகுப்பாய்வு செய்ய அனுமதிக்கும் குறிப்பிட்ட எண்களைப் பெறலாம்.
கணித பகுப்பாய்வின் புதிய கருத்தை நாங்கள் படிக்கப் போகிறோம்: கலப்பு செயல்பாடு. ஒரு கலப்பு சார்பு என்பது இரண்டு சார்புகளின் கலவையால் உருவாகும் ஒரு சார்பு ஆகும், அதாவது முதலில் x க்கு ஒரு செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவாகும், பின்னர் இந்த முடிவுக்கு ஒரு புதிய செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் விளைவாகும்.
இன்றைய கட்டுரையில், மிக முக்கியமான தனித்துவமான விநியோகங்களில் ஒன்றைப் பற்றி பேச, புள்ளியியல் பிரிவுக்குத் திரும்புவோம்: விஷ விநியோகம். கொடுக்கப்பட்ட இடம் அல்லது நேர இடைவெளியில் நிகழும் குறிப்பிட்ட வகை நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையை நீங்கள் தீர்மானிக்க விரும்பும் சூழ்நிலைகளில் இந்த விநியோகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
பழங்காலத்தின் மிகவும் பிரபலமான மூன்று பிரச்சனைகளில் ஒன்றை நாம் இன்று படிக்கப் போகிறோம்: வட்டத்தின் சதுரம்,உண்மையில் இது சாத்தியமற்ற பிரச்சனையாகக் கருதப்படுகிறது, இறுதியில் 19 ஆம் நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர் ஃபெர்டினாண்ட் லிண்டெமன், பை எண்ணின் ஆழ்நிலைத் தன்மையால் பிரச்சனை தீர்க்க முடியாதது என்று காட்டினார்.
இன்றைய கட்டுரையில் Qudratic functions அதாவது இரண்டாம் பட்டத்தின் சமன்பாடுகளின் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பற்றி படிக்கப் போகிறோம். இரண்டாம் நிலை சமன்பாடுகளின் வரைபடங்கள் parabolas உடன் ஒத்துப்போகின்றன என்பதை மனதில் கொண்டு, இந்த இடுகையில், இவற்றின் சிறப்பியல்பு கூறுகளைப் படிக்கப் போகிறோம்.
இரண்டு வட்டங்களின் தொடர்புடைய நிலைகளைப் பார்த்த பிறகு, இன்று நாம் ஒரு வட்டத்தின் கோணங்களைப் படிக்கப் போகிறோம். Central angle: இது சுற்றளவின் மையத்தில் அதன் உச்சியைக் கொண்டிருக்கும் கோணம், அதாவது மையத்தில் தோற்றம் கொண்ட இரண்டு கதிர்களால் தீர்மானிக்கப்படும் கோணம், எனவே அவை சுற்றளவின் ஆரங்கள்.
கணிதத்தில் உள்ள அனைத்தும் எண்கள், தேற்றங்கள், நிரூபணங்கள், கணக்கீடுகள் அல்ல… மற்றும் முடிவில்லாத விஷயங்களின் நீண்ட பலவும் சலிப்பை ஏற்படுத்துகிறது (எனக்கு அவை இல்லை என்றாலும்). இன்று நாம் 11 ஆம் நூற்றாண்டில் பிறந்த ஒரு சிறந்த பாரசீக கணிதவியலாளரின் இலக்கியப் பக்கத்தைக் கண்டறியப் போகிறோம்:
நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்க்கும் முறைகளைப் பார்த்தவுடன், இந்த முறைகளைப் பயன்படுத்தி சில நேரியல் அல்லாத அமைப்புகளைஎவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதையும் படிப்போம்.. சரியான முறையைத் தேர்ந்தெடுப்பது மிகவும் முக்கியம், இல்லையெனில் அதன் தீர்மானம் மிகவும் கனமாகவும், கடினமாகவும், அதனால் தவறுகளைச் செய்வது எளிதாகவும் இருக்கும்.
முந்தைய சந்தர்ப்பங்களில், தொடர்பு புள்ளிகள், அதாவது ஒரு வட்டம் மற்றும் ஒரு கோட்டின் தொடர்புடைய நிலை போன்ற வட்டத்தின் சில பண்புகளை ஆய்வு செய்தோம். ஆனால் இப்போது வட்டத்தின் வடிவவியலைப் பற்றி மேலும் படிக்க வேண்டிய நேரம் வந்துவிட்டது. தொடங்குவதற்கு, சில முந்தைய முறையான வரையறைகளைப் பார்ப்போம்:
இரண்டு அறியப்படாத நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான வெவ்வேறு முறைகளை இன்று படிக்கப் போகிறோம். நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் பின்வரும் வடிவத்தில் உள்ளன: இங்கு a, b, c, a´, b´ and c´உண்மை எண்கள். இந்த வகையான சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க, அதாவது, இரண்டு சமன்பாடுகளையும் திருப்திப்படுத்தும் x மற்றும் y இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்;
காம்போசிட் செயல்பாட்டைப் பார்த்தவுடன், தலைகீழ் செயல்பாட்டையும் படிப்போம். கலவை செயல்பாடுகளின் பண்புகளில் நாம் முன்பே குறிப்பிட்டிருப்பதால். இந்தச் சந்தர்ப்பத்தில், தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பெறுவதற்கான செயல்முறையைப் படிப்போம், அதே போல் தலைகீழ் செயல்பாடுகளின் மிக முக்கியமான சில எடுத்துக்காட்டுகளையும் அவை எவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகின்றன என்பதையும் பார்ப்போம்.
தொகுப்புக் கோட்பாட்டின் முன்னோடியாகக் கருதப்படும் முக்கிய கணிதவியலாளர் ஜார்ஜ் கேன்டர் ஆவார், அவர் 1845 மற்றும் 1918 க்கு இடையில் வாழ்ந்த ஒரு ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஆவார். செட் தியரி என்பது கணிதத்தின் ஒரு பிரிவாகும், அதன் பெயர் குறிப்பிடுவது போல, தொகுப்புகளின் பண்புகளை ஆய்வு செய்கிறது.
நாம் எண்களின் கோட்பாட்டில் இன்னும் கொஞ்சம் ஆழமாக தோண்டப் போகிறோம், அதே நேரத்தில் அனைவரும் நன்கு அறிந்த ஒரு புதிய கருத்தை முன்வைக்கிறோம்: பிரதம எண்கள். பகா எண்கள் தோன்றிய சரியான ஆண்டு எங்களுக்குத் தெரியாது, ஆனால் 20,000 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு (இது விரைவில் கூறப்படுகிறது) அவர்கள் அவர்களுடன் பணிபுரிந்ததாகவோ அல்லது குறைந்தபட்சம் அவற்றை அறிந்திருந்ததாகவோ தெரிகிறது.
நாம் எண்களின் கோட்பாட்டில் தொடர்ந்து பணியாற்றுகிறோம், இன்று இது Diophantine சமன்பாடுகளின் திருப்பம் , அவற்றின் பெயர் குறிப்பிடுவது போல், Diophantus, ஒரு பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர், அவருடைய பணி மிகவும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது மற்றும் பிற்கால தலைமுறையினருக்கு செல்வாக்கு செலுத்தியது.
முந்தைய கட்டுரைகளில் நாம் குறிப்பிட்டது போல, கணிதத்தில் மிக முக்கியமான பயன்பாடுகளில் ஒன்று தேர்வுமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதாகும். ஆனால் தேர்வுமுறை சிக்கல்கள் என்றால் என்ன? அவற்றை நாம் எவ்வாறு தீர்க்க முடியும்? கவலைப்பட வேண்டாம், ஏனென்றால் நீங்கள் தொடர்ந்து படித்தால் இவையும் உங்கள் கவலைகளும் தீர்க்கப்படும்.
நாங்கள் ஏற்கனவே பல முறை மெட்ரிக்ஸில் வேலை செய்துள்ளோம், உண்மையில், ஒரு மேட்ரிக்ஸின் ரேங்க் பற்றியும் பேசினோம்; ஆனால் மேட்ரிக்ஸின் தரவரிசை என்றால் என்ன? மற்றும் நாம் அதை எப்படி கணக்கிட முடியும்? இந்தக் கேள்விகளுக்குத்தான் இந்தப் பதிவில் பதிலளிக்கப் போகிறோம்.
நேரியல் நிரலாக்கம் என்பது தொடர்ச்சியான நிபந்தனைகள் அல்லது கட்டுப்பாடுகளுக்கு உட்பட்டு, தொடர் ஏற்றத்தாழ்வுகளால் வழங்கப்படும் தேர்வுமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையாகும். இந்த வகையான சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு, விமானத்தில் இந்தக் கட்டுப்பாடுகளைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது அவசியம், இது சாத்தியமான பகுதி , அதாவது, நமது புறநிலைச் செயல்பாட்டிற்கானக்கு தீர்வு காணப்படும் மண்டலம், இது பொருத்தமானதாக நாம் அதிகரிக்க அல்லது குறைக்க வேண்டிய செயல்பாடு ஆகும்.
ஒரு செயல்பாட்டின் வரைகலை பிரதிநிதித்துவத்தை உருவாக்கும் போது மிக முக்கியமான பண்புகளில் ஒன்று, அதன் ஏகபோகத்தை ஆய்வு செய்வது, அதாவது, நமது செயல்பாடு அதிகரிக்கும் மற்றும் குறையும். அத்துடன் அதிகபட்சம் மற்றும்/அல்லது குறைந்த பட்சம் அது இருந்தால் அவற்றை நிர்ணயித்தல்.
Thales of Miletus (630 BC - 545 BC) மிகவும் பிரபலமான கிரேக்க தத்துவஞானிகளில் ஒருவர், ஆனால் அதற்காக தனித்து நிற்கிறார், ஆனால் எல்லா ஞானிகளையும் போலவே நேரம், ஒரு விஞ்ஞானி மற்றும் கணிதவியலாளராகவும் தனித்து நின்றார், அங்கு அவர் வடிவவியலில் பங்களிப்பு மிகவும் முக்கியமானது, மேலும் இந்த பங்களிப்புகளில் ஒன்று நாம் கவனம் செலுத்தப் போகிறோம், நன்கு அறியப்பட்ட "